Las ecuaciones evolutivas son la base de los modelos matemáticos para diversos fenómenos y procesos en física, biología, ingeniería y otros dominios del conocimiento científico.

Una línea de investigación en esta área es resolver el famoso problema de Navier-Stokes. Los métodos asintóticos ocupan un lugar especial en la teoría de ecuaciones no lineales evolutivas, pues nos permiten tener una representación aproximada para las soluciones. Se trata de desarrollar nuevos métodos de estudio del comportamiento asintótico para tiempos largos de las soluciones de ecuaciones no lineales conservativas o disipativas en el caso de valores iniciales grandes. Una de las líneas de investigación que desarrollan E. Kaikina y P. Naumkin se relaciona con el desarrollo de nuevos métodos analíticos para el estudio de problemas de Cauchy y de frontera para una clase general de ecuaciones no lineales evolutivas. Estas ecuaciones describen varios fenómenos de propagación de ondas en diferentes medios conservativos o disipativos y tienen gran importancia en muchas áreas de la física.

Dentro de la física matemática, el grupo de Morelia, cultiva las áreas de ecuaciones no lineales evolutivas y gravitación cuántica con cierto traslape en el estudio de métodos de cuantización.

En el área de gravitación cuántica se desarrollan nuevas estructuras en la matemática y en la física inspiradas por la teoría cuántica de campos y en particular por la gravitación cuántica. Las teorías de campo topológicas, la teoría de campos en una red, la cuantización de lazos y el grupo de renormalización de Wilson colaboran para formar ricas estructuras. Ellas generan poderosos invariantes en el estudio de la teoría de nudos y variedades; en la física, ayudan a formular mejores modelos para la gravitación cuántica y a estudiar el límite semiclásico de modelos existentes. A. Corichi, R. Oeckl y J. A. Zapata han hecho contribuciones en esta dirección.

Por otro lado, la física relativista sugiere problemas de cuantización que se abordan utilizando ideas de cuantización geométrica y reducción simpléctica. Así se formulan problemas concretos de geometría simpléctica como es la clasificación de ciertas clases de polarizaciones. En la solución de este tipo de problemas colabora J. A. Zapata.

La combinatoria algebraica es un área de las matemáticas que tiene un carácter muy amplio y cuya esencia es la interacción entre la combinatoria y el álgebra. Por un lado estudia aspectos combinatorios de ramas más clásicas de las matemáticas como son la teoría de grupos, las representaciones de grupos de Coxeter y de álgebras de Lie semisimples, la teoría de funciones simétricas y el cálculo de Schubert. Por otro lado, utiliza métodos algebraicos para resolver problemas de tipo combinatorio, como aquellos que provienen de la combinatoria enumerativa y de las teorías de politopos convexos y de gráficas. La combinatoria algebraica y la teoría de los grupos constituyen el contexto de trabajo de este grupo de investigación, cuya labor reciente describimos en las siguientes líneas. El anillo de Burnside de un grupo es un invariante de la categoría de grupos que ha sido muy estudiado por su relación con las representaciones modulares de grupos y con la cohomología de grupos. Dicho invariante no determina al grupo en general, pero es interesante la exploración del tipo de propiedades que deben compartir grupos que tienen el mismo anillo de Burnside. Hemos probado que para grupos abelianos el anillo de Burnside determina al grupo y que, para grupos arbitrarios, la tabla de marcas determina los factores de composición del grupo.

También se probó que todo isomorfismo de anillos de Burnside se puede normalizar e induce una buena correspondencia entre las clases de conjugación de la redes de subgrupos solubles.

Los grupos de 3-transposiciones fueron introducidos por B. Fischer en su búsqueda de una clase de grupos esporádicos. En su trabajo, clasificó todos los grupos de 3-transposiciones que no tienen subgrupos solubles normales. En esta línea de investigación estudiamos los grupos de 3-transposiciones, no necesariamente finitos, desde un punto de vista geométrico. Hemos obtenido la clasificación de los grupos de 3-transposiciones cuyo espacio de Fischer asociado es simpléctico. Introdujimos el concepto de diagrama, que nos da un conjunto mínimo de generadores del grupo, y hemos caracterizado los diagramas en la categoría de espacios de Fischer. Uno de los temas clásicos de la combinatoria algebraica es el uso de tablas de Young para el estudio de las representaciones del grupo simétrico. En esta área hay un problema clásico, complejo, de mucho interés en álgebra y física, que consiste en encontrar un método satisfactorio para calcular la descomposición de un producto de Kronecker de dos caracteres complejos irreducibles del grupo simétrico en sus componentes irreducibles y describir combinatoriamente las multiplicidades de éstas. Hemos desarrollado una nueva línea de investigación que consiste en determinar las componentes minimales, con respecto al orden de dominación de particiones, y dar una descripción combinatoria de sus multiplicidades.

El entendimiento de fenómenos naturales demanda la interacción de especialistas en las distintas áreas del conocimiento científico. De esta manera, los fenómenos biológicos se han visto beneficiados por la diversidad de enfoques con los que se han estudiado. En particular, desde inicios y sobre todo desde mediados del siglo pasado, especialistas en Matemáticas, Física e Ingeniería han orientado sus intereses de investigación hacia problemas de la Biología. En consecuencia, las Biomatemáticas y la Biología Matemática han surgido como una transdiciplina, la primera, y una interdisciplina, la segunda, que capturan los elementos esenciales para el análisis óptimo y riguroso de fenómenos biológicos.

En particular, el estudio de los mecanismos que gobiernan los distintos tipos de autoorganización es de vital importancia para fenómenos en biología, química, física y otras áreas del conocimiento científico. Ejemplo de esto son los procesos morfogenéticos asociados al crecimiento y desarrollo de órganos como las raíces en plantas, en los que las interacciones entre familias de proteínas y hormonas, junto con la estructura física del medio donde las raíces crecen, son cruciales.

Hasta el momento se tienen identificados varios mecanismos que producen distintos tipos de estructuras autoorganizadas. Dichos mecanismos comprenden comportamientos dinámicos específicos, por ejemplo, de tipo onda viajera o de tipo “wave-pinning”; de igual manera, la formación de patrones extendidos y estructuras localizadas. Sin embargo, todavía no se cuenta con una teoría completa que incluya las consecuencias que distintos aspectos físicos y químicos pueden tener en dichos mecanismos y en las formas y estructuras que adquieren los organismos durante su desarrollo. Por ejemplo, la mayoría de los modelos que se han propuesto para estudiar distintos fenómenos de autoorganización, en particular en la biología, incluyen como elemento fundamental el transporte de sustancias a través de procesos difusivos que, usualmente, como consecuencia del tamaño de los agentes participantes o características isotrópicas del medio en cierta escala, son supuestos como interacciones locales. Sin embargo, debido a las heterogeneidades y características físicas presentes en algunos sistemas biológicos, como la existencia de membranas celulares y las condiciones usuales de hacinamiento dentro de células vivas, éstos procesos pueden ser de naturaleza anómala. Por ejemplo, modelos que describen la propagación de contaminantes en mantos acuíferos.

Debido a que los métodos y herramientas que son utilizadas en el estudio de fenómenos biológicos son ampliamente diversos; es decir, pertenecen a las áreas de los sistemas dinámicos, ecuaciones diferenciales, análisis numérico y asintótico entre otros. Como consecuencia, el área de Biomatemáticas que en el CCM se cultiva tiene el potencial de vinculación con no solamente con otras áreas de las matemáticas, sino también con otras áreas del conocimiendo científico.