Resumen:

En el Congreso Internacional de Matemáticos de París en 1900 Hilbert propuso una lista de problemas que, en su opinión, serían determinantes en las direcciones de investigación que seguirían las matemáticas del siglo XX.

El tercero de los problemas de Hilbert pide exhibir dos tetraedros con bases congruentes y alturas iguales (y por lo tanto del mismo volumen), con la propiedad de que no sea posible partir uno de ellos en una cantidad finita de piezas con las cuales se pueda armar el otro.

En este curso hablaremos a detalle de este problema, y abordaremos una elegante solución a él.

Resumen:

Como bien sabemos, el plano euclidiano admite tres teselaciones regulares: una con cuadrados, otra con triángulos equiláteros, y una más con hexágonos regulares.

La teselación de cuadrados admite una generalización natural a cada espacio euclidiano de dimensión al menos 3, y en el espacio 3-dimensional esa es la única teselación regular.

Hay varias herramientas que se pueden utilizar para explorar las teselaciones regulares del espacio 4-dimensional. En el curso hablaremos de estas teselaciones con un enfoque de cortado y pegado, que ayuda a desarrollar la intuición. Una vez comprendida esta idea resulta sencillo formalizar el estudio de las teselaciones regulares del espacio 4-dimensional.

Además se dará un panorama general de las teselaciones regulares en los espacios euclidianos de cualquier dimensión.

Resumen:

En 1932 Borsuk estaba estudiando conjuntos de un diámetro fijo. Observó que la bola unitaria en dimensión n se puede partir en n+1 regiones con menor diámetro. Al mismo tiempo mostró que esto no es posible si la bola unitaria se divide en n regiones. Esto lo llevó a preguntarse si el mismo fenómeno ocurre para cualquier subconjunto acotado de R^n.

El mismo Borsuk dio respuesta afirmativa a su pregunta para n=2 y posteriormente Perkal logró probar lo mismo para n=3.

Con el paso de los años se fue dando respuesta afirmativa a esta pregunta en diferentes casos. Esto incluye, en dimensión arbitraria, a todos los conjuntos convexos suaves, cuerpos de revolución y cuerpos centralmente simétricos. Sin embargo, para sorpresa de todos, en 1993, Kahn y Kalai mostraron que a veces la respuesta es negativa.

En este curso vamos a estudiar la forma en la que se fue atacando este problema hasta llegar a su solución final.