Abotonar un poco más
Tengo un saco que tiene cuatro botones.
Algunas veces comienzo a abotonarlo desde el botón de arriba. Otras veces comienzo por otro botón. Así, comencé a jugar con los distintos órdenes en que podía abotonar mi saco. Un día me pregunté:
¿Cuántos distintos órdenes hay para abotonar mi saco?
Revisa cuántas maneras de abotonar un saco de tres botones hay, después regresa al caso de cuatro botones.
¿Puedes predecir cuántas maneras distintas de abotonar un saco con cinco botones? ¿Qué tal con seis botones ... ?
Este acertijo y su material de apoyo son una traducción; el original en inglés aparece en http://nrich.maths.org/7350
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¿Cómo sabes que has encontrado todas las maneras?
¿Cómo podrías usar el número de maneras de abotonar un saco con tres botones para resolver el problema con cuatro botones?
¿Cómo podrías llevar un recuento de lo que estás haciendo?
Para indicar un orden para abotonar usamos una secuencia de letras. Por ejemplo, ABCD indica que primero abotonamos el de arriba y luego el inmediato de abajo hasta terminar; mientras que, DCBA significa que abotonamos de abajo para arriba.
Los distintos ordenes para abotonar son:
A BCD, A BDC, A CBD, A CDB, A DBC, A DCB,
B ACD, B ADC, B DCA, B DAC, B CAD, B CDA,
C ABD, C ADB, C DAB, C DBA, C BDA, C BAD,
D CBA, D CAB, D BAC, D BCA, D ABC, D ACB
Sabemos que estos son todos los ordenes posibles pues listamos por separado los distintos ordenes que comienzan por el mismo botón. Así podemos justificar que tenemos todas maneras comenzando con ese botón correspondientes a las 6 maneras de abotonar los 3 botones restantes.
En total son 4 x 6 = 24. Notamos que comenzando con el número 1 hay 6 maneras de abotonar, y que son las maneras de abotonar un saco con 3 botones, 6 = 3 x 2. Así también notamos que el saco con 5 botones podrá abotonarse de 5 x 24 maneras. 5 x 24 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 . El caso del saco con 6 botones puede abotonarse siguiendo 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 distintos ordenes.
