La teoría geométrica de grupos estudia la interacción entre grupos finitamente generados y espacios con estructura geométrica, estableciendo un puente natural entre el álgebra y la geometría. Este enfoque permite estudiar propiedades algebraicas de los grupos mediante herramientas geométricas, y viceversa. El objetivo principal de este curso es introducir algunos de los conceptos fundamentales de la teoría geométrica de grupos, así como presentar algunas de sus aplicaciones. Comenzaremos asociando a todo grupo finitamente generado un espacio métrico, a través de su gráfica de Cayley con una métrica natural. Veremos que, si bien esta construcción depende de la elección de un conjunto de generadores, el espacio resultante es único hasta cuasi-isometría. Esta noción de equivalencia preserva muchas propiedades geométricas relevantes, lo que permite definir invariantes cuasi-isométricos del grupo. Si el tiempo lo permite, exploraremos algunos de estos invariantes, tales como el espacio de fines y el tipo de crecimiento del grupo.

El primer acercamiento que tenemos con la Geometría suele ser mediante la Geometría Euclideana; sin embargo, ésta no es la única que existe. En este mini curso exploraremos otros tipos de geometrías y analizaremos cómo son las "rectas" y los triángulos en éstas. Los objetos clave serán los triángulos, pues nos permitirán dar una noción análoga a estas geometrías en grupos; para esto, aprenderemos cómo ver a estos objetos algebraicos como espacios geométricos. Las protagonistas del mini curso serán la Geometría Hiperbólica y los Grupos Hiperbólicos, enfatizando en las consecuencias y ventajas que se tienen al trabajar con grupos que cuenten con cierta noción de hiperbolicidad. Estas nociones pueden empujarse de forma que seguimos conservando algunas de estas ventajas; hablaremos brevemente de cómo se pueden generalizar las nociones de hiperbolicidad en grupos y qué propiedades se continúan satisfaciendo.

Consideremos la gráfica de Cayley Γ asociada a un grupo finitamente generado G. Para estudiar las propiedades globales de la gráfica Γ, es natural explorar sus vértices de manera uniforme y sin sesgos. Siguiendo esta idea, imaginemos situarnos en un vértice y, desde ahí, elegir cada nuevo paso de nuestra exploración uniformemente al azar entre las aristas disponibles. Esto define una caminata aleatoria sobre la gráfica. En esta charla veremos cómo el análisis de estas caminatas aleatorias revela propiedades, no solo de la gráfica Γ, sino también del grupo G, poniendo de manifiesto una fascinante conexión entre probabilidad, grupos y geometría.

En 1996 Gersten demostró que si $G$ es un grupo hiperbólico tal que $cd(G)=2$ y $H$ es un subgroup de tipo $FP_2$, entonces $H$ es hiperbólico. En 2024, Kropholler, Bader y Vankov generalizaron este resultado, demostrando que dado cualquier anillo unitario $R$ y un grupo hiperbólico $G$ tal que $cd_R(G)=2$, un subgrupo $H$ < $G$ es hiperbólico si y solo si $H$ es de tipo $FP_2$. Inspirado en ello, nos gustaría encontrar un análogo para ciertas $R$-álgebras, para ello, el primer paso es definir una función homológica de Dehn para álgebras de tipo $R-FP_2$. En esta charla, entre otras cosas, definiremos función homológica de Dehn para grupos, álgebras y discutiremos avances en la dirección anteriormente mencionada.

En la teoría clásica de sistemas dinámicos, especialmente aquella que concierne las acciones de los enteros en variedades, la "hiperbolicidad" es una noción central en los teoremas de estabilidad estructural. Estas ideas han ido generalizándose a acciones de grupos más generales. Hablaré de un resultado de Sullivan, precursor de estas generalizaciones, relativo a la estabilidad estructural de acciones "hiperbólicas" de grupos más generales (la parte fácil de su teorema de estabilidad de grupos convexo-cocompactos), en el que aparecen algunas ideas de la teoría geométrica de grupos.