En este minicurso, veremos muchos ejemplos de 3-variedades, teoremas importantes y problemas de interés en el área. La finalidad es dar una introducción que provoque interés para el estudio profundo de estos objetos en un futuro.

El problema de clasificación de 3-variedades comenzó en 1904 con un problema planteado por H. Poincaré al tratar de caracterizar la 3-variedad más sencilla: la esfera tridimensional. Los esfuerzos por resolver ese problema dieron camino hacia el proyecto más ambicioso de clasificar todas las 3-variedades. En este sentido, W. Thurston propuso una conjetura que dice que cualquier 3-variedad es geométrica o se puede descomponer en piezas geométricas. Thurston probó un caso particular de su conjetura y el caso general fue probado por Perelman en 2009, dando como corolario la prueba de la conjetura de Poincaré.
En esta plática revisaremos algunos conceptos necesarios para entender los teoremas anteriores, conoceremos algunas implicaciones y veremos cuál es el papel del grupo fundamental en esta clasificación. Finalmente, enfocaremos nuestra atención al caso de las 3-variedades que son el exterior de algún nudo.

El grupo modular y el grafo de curvas son dos objetos que se asocian a una superficie S.
En esta charla se dará una breve introducción de estos conceptos, se hablará de una acción del grupo modular en el complejo de curvas y se probará, usando una cuasiisometría al grafo de curvas, que el grupo modular de una superficie orientable de género al menos dos es débilmente hiperbólico relativo a una colección finita de estabilizadores de curvas.

El estudio de los grupos de automorfismos de superficies de Riemann tiene una larga historia y diversos resultados bien establecidos. En este contexto, entender las acciones de grupos finitos en superficies, consideradas como subgrupos de automorfismos, proporciona una forma natural de determinar las clases de conjugación de subgrupos finitos del grupo modular Mod(S) de una superficie S. En esta plática, recordaremos el grafo de voltaje de un grupo y lo utilizaremos para establecer las condiciones bajo las cuales un grupo finito G puede actuar en una superficie S específica. Posteriormente, introduciremos la noción de acciones equivalentes y esto nos permitirá clasificar las acciones de un grupo fijo G en la superficie S. Finalmente, trasladaremos este problema al nivel del grupo modular de una superficie Mod(S), determinando así las clases de conjugación de subgrupos isomorfos a G dentro de Mod(S).