Daniel Pellicer

Un mapa es un encaje de una gráfica en una superficie, con cierta propiedad adicional. Esta idea busca generalizar la noción de mapa que conocemos de los cursos de geografía. En este curso estamos interesados en particular en las simetrías que guardan los mapas, enfocándonos en aquellos más simétricos. A lo largo del curso se verá que este tema se puede definir y estudiar de manera independiente desde la topología de superficies (es en esta dirección en la que estamos definiendo 'mapa en superficie'), desde la combinatoria de complejos simpliciales, desde la teoría de grupos, y desde la geometría euclidiana, esférica e hiperbólica. No se requieren conocimientos previos en estos temas.

Jesús Hernández Hernández

Los grupos son una de las estructuras más básicas del álgebra. Sin embargo, por su nivel de generalidad, muchas veces se vuelve muy difícil poder estudiarlos profundamente. Para ayudar a su estudio se utilizan las llamadas "acciones de grupo" en conjuntos, espacios, etc. Más aún, dependiendo de la estructura que tenga el lugar donde actúen y de las propiedades de la acción, se pueden "jalar" muchas propiedades a los grupos. Con esto en mente, la teoría geométrica de grupos es el estudio de los grupos a través de sus acciones en objetos geométricos (usualmente espacios métricos). En esta plática daremos un breve vistazo a la teoría geométrica de grupos y al concepto de curvatura negativa en grupos. Primero, vamos a ver cómo es posible ver a un grupo como un espacio métrico y su acción isométrica en sí mismo. Posteriormente, veremos acciones isométricas más generales de grupos con diferentes propiedades, y el que se considera el resultado fundamental de la teoría (Lema de Milnor-Schwarz), el cual nos permitirá hacer "equivalentes" la información obtenida a partir de una acción del grupo y la información obtenida de ver al grupo como un espacio métrico. Finalmente, veremos cómo se puede dotar a un espacio (y por ende a un grupo) de una "curvatura negativa", y sus ventajas.

Ernesto Vallejo Ruiz

Dentro de la combinatoria hay varios problemas de conteo que dependen de los objetos que se desea contar. Un ejemplo clásico es el de los collares puestos sobre una mesa: ¿cuántos collares hay con 8 cuentas y 3 colores? La simetría de estos objetos es rotacional. Otro ejemplo. ¿De cuántas maneras podemos colorear las caras de un cubo con a lo más 7 colores? En este caso las simetrías consideradas son las rotaciones del cubo en el espacio.

En este curso mostramos un método, basado en teoremas de Frobenius, Burnside y Pólya, que resuelve estos y otros problemas. El método usa las nociones de grupo y de acción de un grupo en un conjunto.

Cristina Villanueva Segovia

En este curso estudiaremos distintas maneras de decir que un conjunto es "pequeño" en la recta real. En particular, nos centraremos en las nociones de "pequeñez" que surgen a partir de la medida de Lebesgue y de las categorías de Baire (ambos conceptos serán introducidos en el curso). Nuestra motivación será tratar de entender en qué sentido estos conceptos son análogos, opuestos, uno más fuerte que el otro, etc., esto nos llevará, por un lado, a estudiar propiedades particulares de los conjuntos "pequeños" y "grandes" (según la noción que estemos usando) y por el otro, a adentrarnos en la estructura de la recta real, construyendo ejemplos contraintuitivos (o por lo menos, no intuitivos). Hablaremos también de lo que no es ni pequeño, ni grande, es decir, conjuntos que se escapan de poder ser clasificados según estas nociones de pequeñez.

* En este curso partiremos únicamente de nociones generales de topología y análisis real, no es necesario haber llevado un curso de teoría de la medida, ni de teoría de conjuntos.

Luis Abel Castorena Martínez

Por medio del anillo de polinomios e ideales introduciremos las variedades algebraicas y estudiaremos algunas de sus propiedades.

Osvaldo Guzmán Gónzalez

Los ultrafiltros son de los objetos más importantes en la combinatoria infinita. De alguna manera, un ultrafiltro nos da una medida para decidir cuando un conjunto es grande o pequeño. Aunque es imposible describir explicitamente los ultrafiltros, (En el curso explicaremos por qué) estos tienen aplicaciones en diversas áreas de las matemáticas. En el curso veremos algunos ejemplos.

No es necesario tener conocimientos previos sobre ultrafiltros o teoría de conjuntos.

Yesenia Villicaña Molina

Darle una topología o una geometría a un espacio de cosas, nos sirve para expresar (a veces cuantitativamente) qué tan diferentes son dos elementos de dicho espacio. En esta plática, veremos algunos ejemplos sencillos de lo anterior, y posteriormente profundizaremos un poco en el espacio de polígonos degenerados a segmentos, es decir, el espacio de polígonos con todos sus vértices alineados. (Esto último es un trabajo en conjunto con Manuel Espinosa y Ahtziri González.)

Edgardo Roldán Pensado

En esta plática exploramos el mundo de las particiones de medidas, un campo que cae entre la geometría discreta y la topología algebraica, dedicado a dividir el espacio equitativamente mediante métodos geométricos. Veremos desde sus principios intuitivos hasta teoremas fundamentales como el de Ham-Sandwich y el problema de equipartición de Grünbaum, abordando las estrategias clave para sus demostraciones. Además, daremos un vistazo a resultados más especializados y reflexionaremos sobre la curiosa prevalencia de referencias culinarias en los nombres de estos teoremas.

Nelly Sélem Mojica

El análisis topológico de datos (TDA) ofrece una poderosa herramienta para identificar propiedades topológicas en conjuntos extensos de datos. Esto se logra al medir similitudes entre datos y la construcción de complejos simpliciales. El TDA se ha utilizado con éxito en diversas disciplinas como la física, neurociencia, astronomía y metagenómica. En esta charla, exploraremos los fundamentos del TDA y su aplicación en el estudio de la transferencia horizontal de genes (TGH) entre las bacterias del grupo ESKAPE, el cual es un grupo de patógenos que representan una amenaza considerable debido a su resistencia a múltiples antibióticos.

Trabajo en conjunto con Haydee Peruyero, S. Guerrero-Flores, J.M. Ibarra

Adriana Haydée Contreras Peruyero

Usualmente estamos acostumbrados a pensar en dimensiones enteras, un punto tiene dimensión 0, una línea tiene dimensión 1 y un sólido tiene dimensión 2, sin embargo existen dimensiones no enteras, un ejemplo de ello es la dimensión fractal, la cual es una medida de la complejidad de un fractal. Calcular la dimensión fractal es un reto y en años recientes han habido varias propuestas que permiten estimarla. En esta plática vamos a abordar una propuesta de calcular la dimensión fractal para redes complejas usando homología persistente y un concepto llamado magnitud. La magnitud es una noción de tamaño introducida por Tom Leinster que generaliza los invariantes tipo cardinalidad. Nos referimos a esto con lo siguiente, muchos objetos matemáticos tienen una noción canónica de tamaño, por ejemplo los conjuntos tienen cardinalidad y los subconjuntos del espacio tienen volumen. Es un trabajo en conjunto con Nina Otter, Maria Antonietta Pascali, Sanjukta Krishnagopal, Rayna Andreeva y Elizabeth Thompson.

Alejandro Corichi Rodríguez