La teoría de Garside surge como una herramienta para resolver principalmente tres grandes preguntas en los grupos de trenzas: formas normales (problema de la palabra), problema de conjugación y el problema K(π, 1). Posteriormente Deligne y Brieskorn-Saito, generalizaron esta herramienta (con dos enfoques totalmente distintos) para los grupos de Artin-Tits de tipo finito. Posteriormente, Dehornoy y Paris notaron que estas herramientas podrían generalizarse para una familia mucho más grande de grupos, sentando las bases para lo que ahora se conoce como Teoría de Garside.

Los grupos de Garside tienen solución al problema de la palabra (a través de formas normales), al problema de conjugación, son grupos de tipo K(π, 1), son libres de torsión (en su versión acotada) y bajo ciertas condiciones se les puede asociar una geometría no positiva.

En este curso exploraremos un enfoque completamente combinatorio para la Teoría de Garside. En la primera parte mostraremos como a partir de un conjunto parcialmente ordenado y etiquetado, podemos construir cuatro objetos algebraicos y topológicos de manera natural: Su diagrama de Hasse H := H(P, S), un monoide M := M(P, S), un grupo G := G(P, S) y un complejo simplicial K := K(P, S), de tal manera que el grupo fundamental del complejo simplicial es exactamente G. En la segunda parte exploraremos como al pedirle ciertas condiciones al conjunto parcialmente ordenado y etiquetado, llamadas “tipo Garside”, obtendremos nuestro principal teorema, i.e. (1) M se encaja en G, (2) G admite solución al problema de la palabra y (3) La cubierta universal de K es contraible. En la tercera parte, exploraremos algunos ejemplos emblemáticos y plantearemos algunos problemas abiertos en el área.

En este minicurso, veremos muchos ejemplos de 3-variedades, teoremas importantes y problemas de interés en el área. La finalidad es dar una introducción que provoque interés para el estudio profundo de estos objetos en un futuro.

El problema de clasificación de 3-variedades comenzó en 1904 con un problema planteado por H. Poincaré al tratar de caracterizar la 3-variedad más sencilla: la esfera tridimensional. Los esfuerzos por resolver ese problema dieron camino hacia el proyecto más ambicioso de clasificar todas las 3-variedades. En este sentido, W. Thurston propuso una conjetura que dice que cualquier 3-variedad es geométrica o se puede descomponer en piezas geométricas. Thurston probó un caso particular de su conjetura y el caso general fue probado por Perelman en 2009, dando como corolario la prueba de la conjetura de Poincaré.
En esta plática revisaremos algunos conceptos necesarios para entender los teoremas anteriores, conoceremos algunas implicaciones y veremos cuál es el papel del grupo fundamental en esta clasificación. Finalmente, enfocaremos nuestra atención al caso de las 3-variedades que son el exterior de algún nudo.

El grupo modular y el grafo de curvas son dos objetos que se asocian a una superficie S.
En esta charla se dará una breve introducción de estos conceptos, se hablará de una acción del grupo modular en el complejo de curvas y se probará, usando una cuasiisometría al grafo de curvas, que el grupo modular de una superficie orientable de género al menos dos es débilmente hiperbólico relativo a una colección finita de estabilizadores de curvas.

Dentro de los problemas que se abordan en el estudio de la teoría de grupos, un problema que resulta muy interesante es el problema de la palabra. Este problema consiste en decidir si dos expresiones son equivalentes, es decir si representan el mismo elemento. En la mayoría de los grupos no se sabe si el problema de la palabra es soluble o no, pero ha sido una pregunta que interesa a los matemáticos y computólogos desde hace años. En esta charla nos concentraremos en entender este problema para dos tipos de grupos finitamente presentados, los grupos de Coxeter y los grupos de Artin-Tits. Estos grupos son de particular interés porque tienen un origen geométrico, están inspirados en estudiar las isometrías de un espacio a partir de sus reflexiones y debido a esta inspiración son grupos que tienen interpretaciones geométricas bastante interesantes y visualmente llamativas.

El estudio de los grupos de automorfismos de superficies de Riemann tiene una larga historia y diversos resultados bien establecidos. En este contexto, entender las acciones de grupos finitos en superficies, consideradas como subgrupos de automorfismos, proporciona una forma natural de determinar las clases de conjugación de subgrupos finitos del grupo modular Mod(S) de una superficie S. En esta plática, recordaremos el grafo de voltaje de un grupo y lo utilizaremos para establecer las condiciones bajo las cuales un grupo finito G puede actuar en una superficie S específica. Posteriormente, introduciremos la noción de acciones equivalentes y esto nos permitirá clasificar las acciones de un grupo fijo G en la superficie S. Finalmente, trasladaremos este problema al nivel del grupo modular de una superficie Mod(S), determinando así las clases de conjugación de subgrupos isomorfos a G dentro de Mod(S).