Isabel Hubard

El cubo de Roli, también conocido como el Hipercubo Quiral Mexicano, es un politopo esquelético de 4 dimensiones con toda la posible simetría de rotaciones, pero sin simetría de reflexiones (es decir, con simetría quiral). En esta charla describiremos este objeto a partir del hipercubo y lo usaremos como pretexto para entender lo que son los poliedros y politopos esquléticos con simetría quiral.

Fuensanta Aroca

Una curva que pasa por el origen en el plano complejo induce una cubierta de una bola en la recta compleja con ramificación en el cero. Utilizado este hecho demostraremos que el cierre algebraico del campo de series en una variable con coeficientes complejos es el campo de series de Puiseux. Extenderemos esta demostración a varias variables para demostrar el teorema de Abhyankar-Jung sobre singularidades casi-ordinarias de hipersuperficies y llegaremos al caso general relacionando la restricción de la cubierta a diferentes toros con diferentes cierres algebraicos del campo de series de potencias en varias variables.

*El trabajo a presentar es trabajo conjunto con Annel Ayala Velasco y está parcialmente financiado por UNAM PAPIIT-IN113323.

Fabiola Manjarrez Gutiérrez

En el estudio de 3-variedades compactas, una herramienta útil es descomponerlas en partes que sean más fáciles de entender. Una descomposición clásica es la conocida como descomposición de Heegaard. Dichas descomposiciones fueron definidas inicialmente para 3-variedades cerradas y han sido generalizadas en el transcurso de la historia del estudio de las 3-variedades compactas. Las descomposiciones de Heegaard y sus generalizaciones han permitido definir otros invariantes para 3-variedades, por ejemplo el ancho, posición delgada, el número de asas. En esta plática daré un recorrido por la historia y algunos resultados referentes a estas descomposiciones.

Cristina Villanueva

El problema del cuadrado inscrito consiste en demostrar que toda curva de Jordan contiene cuatro puntos que son los vértices de un cuadrado euclidiano. Este problema fue planteado por Toeplitz y lleva abierto más de cien años.

En esta charla veremos cómo puede usarse la topología para resolver algunas variantes de este problema y cómo podemos generalizarlo a otros espacios topológicos. Así, el problema del cuadrado inscrito nos servirá para ir traduciendo propiedades topológicas en propiedades geométricas y viceversa.

Claudia Esteves

La planificación de movimientos es una sub-área de la robótica que se ha apoyado fuertemente en la Geometría y la Topología. En esta charla, exploraremos cómo algunos conceptos de éstas dos ramas de las Matemáticas se utilizan para modelar entornos, planificar trayectorias y coordinar movimientos de robots. Veremos algunos algoritmos que han permitido a los robots navegar de manera eficiente en espacios complejos, evitando obstáculos y adaptándose a cambios en el entorno. Por último, comentaremos el impacto que estos desarrollos han tenido en diversas áreas como la medicina y el entretenimiento.

Ingrid Carolina Martínez Barahona

El grupo de Rhodes es una generalización del grupo fundamental de un espacio topológico que incluye una acción de grupo. En particular, estudiaremos el grupo de Rhodes para lazos topológicos. Los lazos topológicos son son estructuras algebraicas - topológicas no asociativas, para el estudiar el grupo de Rhodes tomamos el grupo multiplicativo asociado al lazo topológico que se sabe que actúa como grupo de transformaciones sobre el lazo. El teorema que se demuestra es que si el lazo topológico es centralmente nilpotente entonces su grupo de Rhodes es soluble.

Lorena Armas Sanabria

Sea P(3) el grupo de 3-trenzas puras, y sea L(3) el conjunto de enlaces obtenidos como cerraduras de estas trenzas. En un trabajo anterior, titulado "The Hexatangle", consideramos una subfamilia de enlaces en L(3) y determinamos en cuáles de estos hay una cirugía de Dehn que produce la 3-esfera. Lo anterior se realizó usando el hecho de que estos enlaces son fuertemente invertibles y usando cubiertas dobles ramificadas y la teoría de ovillos. En esta plática presentaré una extensión de este resultado para otra familia de enlaces fuertemente invertibles contenida en L(3).

Adriana García López

El concepto base de la teoría de la relatividad es conocido como espacio-tiempo. Una versión moderna de esta teoría define al espacio-tiempo como una variedad topológica diferenciable con un atlas suave y una conexión torsión libre compatible con un tensor métrico lorentziano, y una orientación temporal que satisface las ecuaciones de Einstein. Partiendo de esta definición, analizaremos si el espacio-tiempo satisface las propiedades de ser un continuo. Discutiremos las consecuencias de la compacidad de estos espacios y de la necesidad de que sean conexos, también abordaremos las condiciones físicas necesarias que deben cumplir los espacios-tiempo para que sean espacios métricos y en el caso en que no se pueda dar una métrica a estos espacios estudiaremos su relación con los continuos de Hausdorff, dando una interpretación física a los axiomas de separación T0, T1 y T2.

Myriam Hernández Ketchul

Motivadas por el trabajo realizado por Cóxeter, podemos pensar en las isometrías del espacio como palabras y buscar un orden para ellas. Dado que las isometrías las podemos escribir como producto de reflexiones pero esa expresión no es única, deberemos buscar otras estructuras algebraicas que nos permitan identificar y dar orden a las isometrías, es así como construimos el COPO modelo que será el objeto principal de esta ponencia.

María de los Ángeles Sandoval-Romero

El teorema de Rellich-Kondrashov es un importante teorema de ánálisis de encajes entre espacios de Sobolev que se aplica para encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales parciales. Fue nombrado así en honor a los matemáticos Franz Rellich y Vladimir Iosifovich Kondrashov. El caso del teorema en variedades riemannianas tiene una riqueza geométrica muy interesante y pocas veces es abordado con todo el formalismo de geometría riemanniana y análisis matemático necesario para una completa comprensión. Se tratará de una plática panorámica en la que también abordaré algunas aplicaciones. Finalmente debo mencionar que este trabajo es un trabajo conjunto con el Mtro. en Ciencias Carlos Daniel Velazquez Mendoza, quien es uno de mis estudiantes del programa de Doctorado en Ciencias Matemáticas de la UNAM.

Jessica Rubí Arias Cruz

El presente cartel presenta el trabajo de Tesis para obtener el título de Matemática, en el cual tiene por objetivo demostrar la relación entre las transformaciones de Möbius (o transformaciones fraccionales lineales) las cuales están definidas en el plano complejo extendido, y el grupo propio de Lorentz (el cual es un subgrupo del grupo de Lorentz), el cual consta de todas las transformaciones de Lorentz del espacio de Minkowski, utilizando propiedades geométricas de la esfera de Riemann.

Karla Esthela Flores López

Una transformación de Möbius es una función de la esfera \(S^{1}\) asociada al plano complejo extendido, de la forma: $$T(z) = az+b/cz+d$$ Dicha transformación se ve como la composición finita de reflexiones en el espacio euclidiano. El objetivo general del trabajo que se desarrolla es estudiar este tipo de transformaciones sobre el espacio euclideano; ya que una transformación de Möbius es conformal, es decir, preserva ángulos y orientación.

Para ello se requiere estudiar todas y cada una de sus propiedades, las cuales se dividen en analíticas, algebraicas y geométricas; cada una de ellas es esencial para la comprensión y manejo de este tipo de transformaciones permitiéndonos conocer mejor su estructura; ya que no solo nos permite trabajar de manera abstracta, sino también se pueden llevar a alguna aplicación.

Daniela Colmenares Sierra

Los politopos son objetos geométricos fundamentales dentro de la matemática, con cualidades combinatorias destacadas que han sido exploradas a lo largo de los años. A lo largo de nuestra historia, una gran variedad de civilizaciones antiguas y grandes matemáticos modernos han dedicado tiempo a la observación y análisis de estos cuerpos, encontrando en ellos la belleza de su complejidad en la sencillez de su intuición geométrica.

Inicialmente, se presenta una contextualización del objeto central a través de los conjuntos convexos y los espacios afines. Posteriormente, se establece la definición de politopo convexo a través de sus dos enfoques principales y se enuncian algunas de sus propiedades. Asimismo, se analiza la estructura de los politopos mediante sus caras, lo que permite visualizar su comportamiento reticular y su esqueleto combinatorio. Finalmente, se estudia en detalle un problema de conteo en combinatoria asociado al número de puntos reticulares en dilataciones por factores enteros positivos de cualquier politopo entero, ilustrando así una aplicación directa de la geometría en la combinatoria.

Ana Gabriela Flores Delgado

Ante la gran importancia que ha adquirido la computación cuántica en el escenario científico mundial, uno de sus más grandes desafíos es el de generar protocolos de computo cuántico inmunes tanto al ruido experimental como al ruido inherente a la naturaleza cuántica de los sistemas. Nosotros nos enfocamos en este segundo aspecto a través de la propuesta conocida como cómputo cuántico toponómico [Modern Physics Letters A 37(27), (2022)], basada en las propiedades geométricas del espacio de estados cuánticos y en el uso de fases geométricas no abelianas que aparecen de manera natural al hacer evolucionar ciertos subespacios vectoriales (k-planos).

En esta charla quiero presentar algunos de nuestros principales resultados sobre la descripción geométrica de los k-planos idóneos para conformar compuertas cuánticas lógicas, mediante la llamada propiedad de anticoherencia y su generalización, la t-anticoherencia. Principalmente les hablaré de un método novedoso que nos permite transformar 1-planos (estados) generales en 1-planos anticoherentes mediante aplicaciones sucesivas de boost lorentzianos infinitesimales en el espacio proyectivo asociado al espacio de Hilbert del estado, y después veremos cómo esto puede generalizarse para construir k-planos t-anticoherentes mediante la aplicación sucesiva de "t-boost" en el grassmaniano correspondiente.

Valentina Rascón Barajas

En las últimas décadas, ha sido comprobada la utilidad del estudio de la mecánica cuántica desde un punto de vista geométrico, en lugar de la perspectiva algebraica tradicional.

Una de las herramientas principales para el estudio de sistemas cuánticos desde una perspectiva geométrica es la Representación estelar de Majorana, propuesta en 1932 por Ettore Majorana, basada en una relación 1 a 1 entre estados cuánticos de espín-s y polinomios complejos de grado 2s, cuyas raíces pueden ser mapeadas a la esfera unitaria a través de la proyección estereográfica.

Gracias a este enfoque es posible visualizar algunas propiedades físicas de los sistemas, tales como su coherencia o sus simetrías rotacionales, las cuales a su vez revelan información sobre su valor de expectación de ciertos observables.

Estos resultados tienen aplicaciones atractivas en áreas como el cómputo cuántico, ya que se ha mostrado que ciertas fases geométricas de sistemas representados por planos en el espacio de Hilbert, pueden dar lugar a compuertas lógicas atractivamente resilientes a ciertos tipos de perturbaciones.

En esta charla expondré la representación estelar de Majorana y su generalización para planos en el espacio de Hilbert [Communications in Mathematical Physics, (2021), 735-764, 381(2)]. Posteriormente mostraré algunas aplicaciones de esta representación en el estudio de la topología del espacio de estados cuánticos y de la relación entre distintas propiedades cuánticas como la anticoherencia y el enredamiento, ambos sumamente utilizados en el contexto del cómputo cuántico.

Ariadna Olvera Sampieri

El teorema de Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz (KKM) es un resultado fundamental en topología y análisis convexo. Este teorema establece condiciones bajo las cuales se garantiza la existencia de un punto en la intersección de una cubierta específica de cerrados en un simplejo n-dimensional. Es equivalente a otros resultados en combinatoria y topología algebraica, como el lema de Sperner y el teorema del punto fijo de Brouwer. También tiene diversas aplicaciones en la resolución de problemas tipo Helly y teoría de transversales.

Existen varias generalizaciones de este teorema. Entre ellas, el teorema KKMS propuesto por Lloyd Shapley, generaliza el teorema KKM en el contexto de economía y juegos cooperativos. Introduce conceptos como el balanceo combinatorio y se generaliza la cubierta de cerrados del n-simplejo. El teorema KKMS politopal es una generalización del teorema KKMS propuesta por Komiya en polítopos compactos convexos en \(\mathbb{R}^n\).

En la presente ponencia hablaremos sobre el teorema KKMS y sus distintas versiones y mencionaremos cómo realizamos, como parte de trabajo de tesis de maestría, la demostración explícita del teorema KKMS politopal, la cual Komiya sugiere de manera implícita en su artículo, así como la versión del teorema con una cubierta abierta, usando únicamente la normalidad de \(\mathbb{R}^n\).

Nicol Daniela Bermudez Bohorquez

Los complejos simpliciales, como un ejemplo particular de un espacio topológico, ofrecen una visión diferente para entender las dinámicas en estructuras políticas y sociales. Estos complejos son construcciones matemáticas que representan conjuntos de elementos llamados símplices, los cuales pueden utilizarse para modelar relaciones entre actores como partidos políticos, legisladores o votantes. Al aplicar la teoría de los complejos simpliciales se logra comprender y representar las dinámicas políticas contemporáneas, ofreciendo así una alternativa matemática para la representación de estas.

En este trabajo realizamos la representación de una estructura política formada por cinco de los candidatos electorales a la Alcaldía de Bogotá 2023 evaluándolos en cuatro ejes de interés (Género, Transporte, Salud y Educación) mediante el procesamiento del lenguaje natural enfocado en el análisis y la minería de textos. Con este enfoque construimos complejos simpliciales mediante el método de Vietoris-Rips, generando una representación matemática que permite analizar las relaciones existentes entre los planes de gobierno y la posibilidad de colaboración entre los agentes de dichas estructuras políticas. Con lo anterior, proponemos un método para construir complejos simpliciales, complementando las metodologías usuales, de tal forma que los complejos construidos permitan explicar las interacciones entre diferentes estructuras políticas.

Luisa Fernanda Rozo Posada

En esta charla exploraremos algunos resultados sobre los conjuntos cerrados regulares de un espacio topológico, así como su correlación con los abiertos regulares a partir de un par adjunto de funciones, y la relación de estos conjuntos con los espacios regulares. Finalmente, se presentará la estructura de retículo de los cerrados regulares y como resultado principal de la charla, el isomorfismo de este retículo con los retículos de Boole completos.

Lizbeth Fernández Villegas

Los términos de topología suelen representar dificultad al entenderse. El proceso mental sigue abstracciones a través de dibujos que el docente traza en el pizarrón. En los libros, en cambio, los dibujos son casi inexistentes. En la sección de Análisis Matemático I del blog de Leo se muestran notas que intentan representar gráficamente, todos los conceptos de la topología en espacios métricos. El objetivo de la exposición será incentivar en el uso de recursos computacionales para sostener las ideas de abstracción y facilitar su comprensión.

Cynthia Guerrero Vargas

A lo largo de la historia, el ser humano ha usado a los nudos como un objeto necesario para la fabricación de herramientas. También han sido útiles para una diversidad de actividades sociales y políticas. En particular, han sido muy importantes para el desarrollo de la ciencia. En las matemáticas, los nudos son objeto muy importante. Exploraremos el mundo de los nudos a partir de algunos conceptos básicos sobre nudos y nos adentraremos en el problema de como clasificarlos. En particular, hablaremos de las movidas de Reidemeister, el concepto de invariante de nudo y la tricoloreabilidad.

Maria del Pilar Ramos Huila

El estudio de partículas subatómicas a lo largo de la historia del conocimiento científico de la naturaleza, ha sido fortalecido por el desarrollo tecnológico del siglo pasado, creando un formalismo matemático contundente para la descripción de los fenómenos contra intuitivos del mundo microscópico. Junto al estímulo dialéctico por la concreción y aplicación de tales resultados teóricos en la actividad humada de realizar cálculos, o resolver problemas hasta el momento insolubles por las actuales supercomputadoras, como el problema de factorización, se plantea y desarrolla la computación cuántica, que matemáticamente presenta potentes posibilidades frente a la computación clásica. Así que llamamos qubit, a la unidad mínima de información cuántica, frente al bit de los sistemas de transmisión de información clásicos. Sin embargo, se presentan grandes retos a los científicos en su implementación física, como por ejemplo, el ruido, el cual se ha mitigado en los sistemas clásicos, pero afecta fuertemente a los qubits. Entre admirables ideas, se encuentra la del qubit topológico, basado en un tipo de partículas llamadas aniones 2 dimensionales, que al avanzar en el espacio-tiempo crean nudos, y se utiliza la topología de estos para hacer cálculos, con diferentes ventajas, entre ellas: la protección topológica al ruido, tanto de los qubits como de las compuertas u operaciones. En esta charla, introduciremos los conceptos de computación cuántica principales y de los nudos que nos permiten comprender acerca de la computación cuántica topológica.