Es sorprendente que al revisar la manera de cómo enseñamos geometría, pueda surgir hoy día una definición alternativa y simple de algo tan trabajado como las curvas cónicas.
Hablaré de ello y reviviré un par de teoremas clásicos, o sus demostraciones, que no son tan conocidos en nuestra forma estándar de ver la geometría.

En mi grupo de trabajo utilizamos modelos matemáticos para estudiar, de manera integral, dinámica y cuantitativa, los mecanismos de inicio y progresión de enfermedades crónico-degenerativas. Como sistema de estudio, nos enfocamos en las transformaciones fisiopatológicas de tejidos epiteliales (ej. Intestino, bronquios, y la capa más superficial de la piel) y nos preguntamos cómo estas emergen de la relación ecológica entre tipos celulares (i.e. los fenotipos) y las propiedades fisicoquímicas del tejido (i.e. el microambiente). Pretendemos entender los mecanismos por medio de los cuáles cambios micro-ambientales influyen, y son influidos por, las adaptaciones fenotípicas a nivel celular. Para ello, nuestros modelos consideran de manera simultánea diferentes escalas temporales. Primero modelamos la red de regulación bioquímica que media los cambios fenotípicos abruptos en respuesta a microambientes continuos, y posteriormente acoplamos estos módulos regulatorios rápidos a la dinámica tisular, más lenta, para analizar los comportamientos patológicos emergentes. Con este modelo, podemos (1) explorar de forma sistemática el efecto de perturbaciones ambientales sobre la homeostasis tisular, (2) identificar los mecanismos que median las transiciones fisiopatológicas abruptas, (3) caracterizar las señales de alerta temprana que indican un incipiente cambio en la salud, y (4) diseñar y optimizar intervenciones terapéuticas para prevenir y prevenir estas catástrofes. Gracias a la estrecha colaboración con nuestros colegas experimentalistas y clínicos, nuestras hipótesis son validadas o refutadas con nuevos experimentos.

En suma, realizamos, desde la modelación matemática, un análisis de la interacción dinámica fenotipo-microambiente celular para entender y prevenir el desencadenamiento y progresión de enfermedades complejas. Aunque nuestro enfoque radica en enfermedades degenerativas de origen epitelial, consideramos que los resultados y herramientas de análisis aquí desarrollados podrán ser utilizados para estudiar otras enfermedades complejas.

Las curvas planas tienen una definición muy sencilla y distinguida, introducidas por René Descartes en 1630 en su Cálculo Geométrico, definidas por satisfacer una ecuación polinomial f(x,y)=0 en 2 variables y que se sigue presentando actualmente en los cursos pre-universitarios. Si x,y toman valores complejos (ya estamos en los cursos universitarios), entonces S(c) definida por f(x,y)=c es una superficie. La dinámica entra al variar c periódicamente en un círculo de valores |c|=1, y obtenemos de esta manera un endomorfismo de S(c) (ya estamos en los cursos de posgrado en Matemáticas). Este endomorfismo es "casi"-periódico, y se debe a que el endomorfismo "tuerce" a lo largo de unos anillos, y cada vez que damos una vuelta, torcemos otra vez. Hemos encontrado una manera de cuantificar el "casi" a través de una forma bilineal simétrica positiva definida en la 1-homología de S(c) dando un significado geométrico de este invariante algebraico que juega un papel significativo en la Geometría Algebraica Contemporánea (Teorema de Positividad de Riemann-Hodge).