La geometría algebraica estudia los conjuntos determinados por las soluciones de sistemas de ecuaciones polinomiales en varias variables con coeficientes sobre un campo. Estos conjuntos definen lo que se conoce como variedades algebraicas, y estas pueden ser variedades afines y/ó proyectivas, dependiendo del espacio donde se estudian las soluciones. Las variedades algebraicas pueden ser puntos, curvas, superficies o variedades de dimensión superior.
Entender determinadas propiedades geométricas de las variedades algebraicas es un problema importante en geometría algebraica y para entender tales propiedades es muy útil estudiar las variedades en "familias", esto es, estudiar las variedades variando los coeficientes (parámetros) de los polinomios de las ecuaciones que las definen. Uno de los problemas centrales y de actualidad de la geometría algebraica es la descripción de las propiedades de tales familias, y en particular la descripción de las propiedades de sus "espacios a parámetros". Esto da origen a los llamados espacios moduli que también son variedades algebraicas. Actualmente estos son temas muy relevantes y de gran actividad a nivel internacional.
Algunos problemas de geometría algebraica que se estudian en el CCM se relaciona en estudiar propiedades de subvariedades del espacio moduli de curvas M_g. Por ejemplo, estudiar la geometría de subvariedades que parametrizan curvas con un modelo proyectivo con singularidades nodales y la relación con subvariedades en la variedad de Severi de curvas planas con nodos. También se estudian temas relacionados con variedades abelianas y variedades de Prym que se obtienen a partir de acciones de grupos sobre curvas.
Se abordan además temas de investigación relacionados con haces vectoriales sobre curvas, en particular el estudio de variedades (determinantales) llamadas de Brill-Noether las cuales parametrizan fibrados estables de determinado grado y rango con un número fijo de secciones. Uno de los problemas principales en esta dirección es el estudio sobre existencia de componentes irreducibles que sean genéricamente no-singulares y que tengan la dimensión esperada para ciertos valores del género de la curva, el grado, rango del fibrado y el número de secciones de los fibrados. Una técnica utilizada para obtener existencia de nuevas componentes es la degeneraciones de curvas junto con la teoría de series lineales límite en rango uno y en rango superior para fibrados vectoriales. Otra técnica que se utiliza en este tipo de problemas es la teoría de deformaciones y extensiones de haces para entender algunas propiedades de los fibrados que interesan estudiar.
Tenemos colaboración con grupos académicos de otras universidades nacionales en donde se aplica la geometría algebraica en otras áreas, por ejemplo, se ha tenido colaboración con investigadores en sistemas dinámicos de la Universidad Juárez Autónoma de Tabasco, con el grupo de geometría algebraica y sistemas dinámicos tanto del CIMAT como del Depto. de Matemáticas de la Universidad de Guanajuato, también se ha colaborado con geometras del grupo de geometría algebraica de la Universidad Autónoma de Zacatecas. En esta relación académica se han abordado problemas relacionados con Indice de campos vectoriales analítico-reales, problemas que tienen que ver con el estudio de ciertas fibraciones sobre superficies racionales, etc.
El CCM ha participado como anfitrión y organizador de varios eventos nacionales e internacionales en Geometría Algebraica que le han dado proyección al CCM .