El entendimiento de fenómenos naturales demanda la interacción de especialistas en las distintas áreas del conocimiento científico. De esta manera, los fenómenos biológicos se han visto beneficiados por la diversidad de enfoques con los que se han estudiado. En particular, desde inicios y sobre todo desde mediados del siglo pasado, especialistas en Matemáticas, Física e Ingeniería han orientado sus intereses de investigación hacia problemas de la Biología. En consecuencia, las Biomatemáticas y la Biología Matemática han surgido como una transdiciplina, la primera, y una interdisciplina, la segunda, que capturan los elementos esenciales para el análisis óptimo y riguroso de fenómenos biológicos.
En particular, el estudio de los mecanismos que gobiernan los distintos tipos de autoorganización es de vital importancia para fenómenos en biología, química, física y otras áreas del conocimiento científico. Ejemplo de esto son los procesos morfogenéticos asociados al crecimiento y desarrollo de órganos como las raíces en plantas, en los que las interacciones entre familias de proteínas y hormonas, junto con la estructura física del medio donde las raíces crecen, son cruciales.
Hasta el momento se tienen identificados varios mecanismos que producen distintos tipos de estructuras autoorganizadas. Dichos mecanismos comprenden comportamientos dinámicos específicos, por ejemplo, de tipo onda viajera o de tipo “wave-pinning”; de igual manera, la formación de patrones extendidos y estructuras localizadas. Sin embargo, todavía no se cuenta con una teoría completa que incluya las consecuencias que distintos aspectos físicos y químicos pueden tener en dichos mecanismos y en las formas y estructuras que adquieren los organismos durante su desarrollo. Por ejemplo, la mayoría de los modelos que se han propuesto para estudiar distintos fenómenos de autoorganización, en particular en la biología, incluyen como elemento fundamental el transporte de sustancias a través de procesos difusivos que, usualmente, como consecuencia del tamaño de los agentes participantes o características isotrópicas del medio en cierta escala, son supuestos como interacciones locales. Sin embargo, debido a las heterogeneidades y características físicas presentes en algunos sistemas biológicos, como la existencia de membranas celulares y las condiciones usuales de hacinamiento dentro de células vivas, éstos procesos pueden ser de naturaleza anómala. Por ejemplo, modelos que describen la propagación de contaminantes en mantos acuíferos.
Debido a que los métodos y herramientas que son utilizadas en el estudio de fenómenos biológicos son ampliamente diversos; es decir, pertenecen a las áreas de los sistemas dinámicos, ecuaciones diferenciales, análisis numérico y asintótico entre otros. Como consecuencia, el área de Biomatemáticas que en el CCM se cultiva tiene el potencial de vinculación con no solamente con otras áreas de las matemáticas, sino también con otras áreas del conocimiendo científico.
N. Bárcenas R. Jiménez D. Juan
En estas áreas se estudian interrelaciones entre el álgebra, la topología y la geometría. En el Centro de Ciencias Matemáticas, las ramas concretas que se trabajan incluyen temas de teoría geométrica de grupos, geometría a gran escala, análisis global y aplicaciones de teoría de representaciones a problemas topológicos.
La Dra. Rita Jiménez se especializa en el estudio el grupo modular de Teichmüller y su relación con el espacio modular de superficies de Riemann. También está interesada en fen?menos de estabilidad homológica y estabilidad de representaciones.
El trabajo del Dr. Noé Bárcenas incluye temas de análisis global, métodos de la teoría de índice y geometría noconmutativa, así como la interacción de estas ideas.
Los Dres. Noé Bárcenas y Daniel Juan están interesados en temas de teoría geométrica de grupos y su aplicación en las conjeturas de Farrell-Jones y Baum-Connes.
F. Luca A.G. Raggi-Cárdenas E. Vallejo
La combinatoria algebraica es un área de las matemáticas que tiene un carácter muy amplio y cuya esencia es la interacción entre la combinatoria y el álgebra. Por un lado estudia aspectos combinatorios de ramas más clásicas de las matemáticas como son la teoría de grupos, las representaciones de grupos de Coxeter y de álgebras de Lie semisimples, la teoría de funciones simétricas y el cálculo de Schubert. Por otro lado, utiliza métodos algebraicos para resolver problemas de tipo combinatorio, como aquellos que provienen de la combinatoria enumerativa y de las teorías de politopos convexos y de gráficas. La combinatoria algebraica y la teoría de los grupos constituyen el contexto de trabajo de este grupo de investigación, cuya labor reciente describimos en las siguientes líneas. El anillo de Burnside de un grupo es un invariante de la categoría de grupos que ha sido muy estudiado por su relación con las representaciones modulares de grupos y con la cohomología de grupos. Dicho invariante no determina al grupo en general, pero es interesante la exploración del tipo de propiedades que deben compartir grupos que tienen el mismo anillo de Burnside. Hemos probado que para grupos abelianos el anillo de Burnside determina al grupo y que, para grupos arbitrarios, la tabla de marcas determina los factores de composición del grupo.
También se probó que todo isomorfismo de anillos de Burnside se puede normalizar e induce una buena correspondencia entre las clases de conjugación de la redes de subgrupos solubles.
Los grupos de 3-transposiciones fueron introducidos por B. Fischer en su búsqueda de una clase de grupos esporádicos. En su trabajo, clasificó todos los grupos de 3-transposiciones que no tienen subgrupos solubles normales. En esta línea de investigación estudiamos los grupos de 3-transposiciones, no necesariamente finitos, desde un punto de vista geométrico. Hemos obtenido la clasificación de los grupos de 3-transposiciones cuyo espacio de Fischer asociado es simpléctico. Introdujimos el concepto de diagrama, que nos da un conjunto mínimo de generadores del grupo, y hemos caracterizado los diagramas en la categoría de espacios de Fischer. Uno de los temas clásicos de la combinatoria algebraica es el uso de tablas de Young para el estudio de las representaciones del grupo simétrico. En esta área hay un problema clásico, complejo, de mucho interés en álgebra y física, que consiste en encontrar un método satisfactorio para calcular la descomposición de un producto de Kronecker de dos caracteres complejos irreducibles del grupo simétrico en sus componentes irreducibles y describir combinatoriamente las multiplicidades de éstas. Hemos desarrollado una nueva línea de investigación que consiste en determinar las componentes minimales, con respecto al orden de dominación de particiones, y dar una descripción combinatoria de sus multiplicidades.
E. Kaikina J. Muciño P. Naumkin
Las ecuaciones evolutivas son la base de los modelos matemáticos para diversos fenómenos y procesos en física, biología, ingeniería y otros dominios del conocimiento científico.
Una línea de investigación en esta área es resolver el famoso problema de Navier-Stokes. Los métodos asintóticos ocupan un lugar especial en la teoría de ecuaciones no lineales evolutivas, pues nos permiten tener una representación aproximada para las soluciones. Se trata de desarrollar nuevos métodos de estudio del comportamiento asintótico para tiempos largos de las soluciones de ecuaciones no lineales conservativas o disipativas en el caso de valores iniciales grandes. Una de las líneas de investigación que desarrollan E. Kaikina y P. Naumkin se relaciona con el desarrollo de nuevos métodos analíticos para el estudio de problemas de Cauchy y de frontera para una clase general de ecuaciones no lineales evolutivas. Estas ecuaciones describen varios fenómenos de propagación de ondas en diferentes medios conservativos o disipativos y tienen gran importancia en muchas áreas de la física.
A. Corichi R. Oeckl J. A. zapata
Dentro de la física matemática, el grupo de Morelia, cultiva las áreas de ecuaciones no lineales evolutivas y gravitación cuántica con cierto traslape en el estudio de métodos de cuantización.
En el área de gravitación cuántica se desarrollan nuevas estructuras en la matemática y en la física inspiradas por la teoría cuántica de campos y en particular por la gravitación cuántica. Las teorías de campo topológicas, la teoría de campos en una red, la cuantización de lazos y el grupo de renormalización de Wilson colaboran para formar ricas estructuras. Ellas generan poderosos invariantes en el estudio de la teoría de nudos y variedades; en la física, ayudan a formular mejores modelos para la gravitación cuántica y a estudiar el límite semiclásico de modelos existentes. A. Corichi, R. Oeckl y J. A. Zapata han hecho contribuciones en esta dirección.
Por otro lado, la física relativista sugiere problemas de cuantización que se abordan utilizando ideas de cuantización geométrica y reducción simpléctica. Así se formulan problemas concretos de geometría simpléctica como es la clasificación de ciertas clases de polarizaciones. En la solución de este tipo de problemas colabora J. A. Zapata.
The fruitful interplay between mathematics and physics has a long history going back to the very beginnings of both subjects. In recent times quantum field theory has been at the forefront of novel directions in this interplay. In particular, work by Witten, Segal, Atiyah and many others beginning in the 1980s and inspired by quantum field theory has lead to new insights into low dimensional topology, knot theory and their relations to other areas such as category theory, quantum groups and operator algebras. While this development, also known as topological quantum field theory, has lead to a whole new branch of algebraic topology, its impact back on physics has been more limited. While it plays an important role in two-dimensional conformal field theory, its potential for elucidating the mathematical foundations of the type of quantum field theories at the basis of our modern understanding of nature is largely unexplored. This is a main aspect of research in quantum field theory at the CCM.
It is well known that quantum field theory in its present form is incompatible with key principles of general relativity. This may be traced back to the prominent role of a non-relativistic conception of spacetime build into the formalism of quantum theory at its very inception. One of the aims of research at the CCM is to seek a formulation of the foundations of quantum theory that does away with any reference to an external classical notion of time, while still embracing the overwhelming empirical success of quantum field theory in fundamental physics as we know it.
La geometría algebraica estudia los conjuntos determinados por las soluciones de sistemas de ecuaciones polinomiales en varias variables con coeficientes sobre un campo. Estos conjuntos definen lo que se conoce como variedades algebraicas, y estas pueden ser variedades afines y/ó proyectivas, dependiendo del espacio donde se estudian las soluciones. Las variedades algebraicas pueden ser puntos, curvas, superficies o variedades de dimensión superior.
Entender determinadas propiedades geométricas de las variedades algebraicas es un problema importante en geometría algebraica y para entender tales propiedades es muy útil estudiar las variedades en "familias", esto es, estudiar las variedades variando los coeficientes (parámetros) de los polinomios de las ecuaciones que las definen. Uno de los problemas centrales y de actualidad de la geometría algebraica es la descripción de las propiedades de tales familias, y en particular la descripción de las propiedades de sus "espacios a parámetros". Esto da origen a los llamados espacios moduli que también son variedades algebraicas. Actualmente estos son temas muy relevantes y de gran actividad a nivel internacional.
Algunos problemas de geometría algebraica que se estudian en el CCM se relaciona en estudiar propiedades de subvariedades del espacio moduli de curvas M_g. Por ejemplo, estudiar la geometría de subvariedades que parametrizan curvas con un modelo proyectivo con singularidades nodales y la relación con subvariedades en la variedad de Severi de curvas planas con nodos. También se estudian temas relacionados con variedades abelianas y variedades de Prym que se obtienen a partir de acciones de grupos sobre curvas.
Se abordan además temas de investigación relacionados con haces vectoriales sobre curvas, en particular el estudio de variedades (determinantales) llamadas de Brill-Noether las cuales parametrizan fibrados estables de determinado grado y rango con un número fijo de secciones. Uno de los problemas principales en esta dirección es el estudio sobre existencia de componentes irreducibles que sean genéricamente no-singulares y que tengan la dimensión esperada para ciertos valores del género de la curva, el grado, rango del fibrado y el número de secciones de los fibrados. Una técnica utilizada para obtener existencia de nuevas componentes es la degeneraciones de curvas junto con la teoría de series lineales límite en rango uno y en rango superior para fibrados vectoriales. Otra técnica que se utiliza en este tipo de problemas es la teoría de deformaciones y extensiones de haces para entender algunas propiedades de los fibrados que interesan estudiar.
Tenemos colaboración con grupos académicos de otras universidades nacionales en donde se aplica la geometría algebraica en otras áreas, por ejemplo, se ha tenido colaboración con investigadores en sistemas dinámicos de la Universidad Juárez Autónoma de Tabasco, con el grupo de geometría algebraica y sistemas dinámicos tanto del CIMAT como del Depto. de Matemáticas de la Universidad de Guanajuato, también se ha colaborado con geometras del grupo de geometría algebraica de la Universidad Autónoma de Zacatecas. En esta relación académica se han abordado problemas relacionados con Indice de campos vectoriales analítico-reales, problemas que tienen que ver con el estudio de ciertas fibraciones sobre superficies racionales, etc.
El CCM ha participado como anfitrión y organizador de varios eventos nacionales e internacionales en Geometría Algebraica que le han dado proyección al CCM .
A. Corichi R. Oeckl J. A. Zapata
The field of gravitational physics has become in the past decades a broad field of physics whose theoretical aspects range from astrophysics and cosmology to quantum gravity, one of the most important frontiers of our current understanding of the nature of matter and spacetime. Research in gravitational and mathematical physics at UNAM-Morelia includes a broad spectrum from mathematical espects of the quantum theory, gauge theories to some numerical applications.
Research in Gravitational Physics at UNAM-Morelia covers both classical and quantum aspects of gravitational theories. Among the classical part, of particular interest are mathematical aspects of hairy black hole solutions and the nature of the evolution equations used in realistic simulations of evolving geometries that may undergo gravitational collapse. The quantum aspects are motivated by the current attempts to construct a complete theory of quantum gravity and to understand the geometrical structure of spacetime at the smallest scales. In particular, a strong research efford is being pursued within loop quantum gravity and spin foam models. There is also a strong research efford in quantum field theory and mathematical physics.
Dicho de manera superficial; Sistemas Dinámicos es el área de las matemáticas que estudia fenómenos que dependen del tiempo.
Ella tuvo sus origenes en las ecuaciones diferenciales (al estudiar el comportamiento de las soluciones para tiempos grandes), en la iteración de funciones de variable real y compleja (al aplicar métodos iterativos para hallar raíces de ecuaciones algebraicas).
Actualmente los sistemas dinámicos son una rama de las matemáticas que incluyen una gran variedad de tecnicas; ecuaciones diferenciales, geometría diferencial y algebraica, superficies de Riemann, variable compleja, singularidades, topología diferencial ...
Esta área es cercana a las aplicaciones; ya que para muchos modelos de matemáticas aplicadas, es natural estudiar su comportamiento para tiempos grandes.
E. P. Balanzario M. Garaev F. Luca
Desde que en el siglo XVII, P. de Fermat estimuló el interés de la comunidad matemática por la investigación sobre problemas de la teoría de los números, se han desarrollado un gran número de herramientas para abordar la solución de este tipo de problemas. Estas herramimentas van, desde inteligentes argumentos elaborados explícitamente para atacar problemas particulares, hasta el desarrollo de técnicas y teorías de gran potencia, generalidad y profundidad. Entre estas últimas, cabe mencionar, por ejemplo, la teoría algebraica de los números, la teoría de las aproximaciones diofantinas y la teoría analítica de los números. Cada una de estas áreas tiene múltiples ramificaciones. En su trabajo matemático, E. Balanzario, M. Garaev y F. Luca han contribuido a la solución de distintos problemas de la teoría de los números al mismo tiempo que han aportado avances en el desarrollo de los métodos propios de esta teoría.
R. Bautista R. Martínez A. G. Raggi L. Salmerón
En los últimos 40 años, la teoría de representaciones de álgebras asociativas ha tenido un periodo de desarrollo vigoroso. Sus fundamentos se han reorganizado, sus aplicaciones y conexiones con otras áreas de las matemáticas se han diversificado y profundizado. Actualmente, es un área donde hay una vitalidad manifestada en numerosas publicaciones y reuniones frecuentes de especialistas de todo el mundo. El grupo de Morelia forma parte del grupo mexicano que se iniciara al final de los años setenta y le ha tocado participar de manera influyente en el desarrollo de la teoría.
Las técnicas más destacadas en el desarrollo del área han sido las sucesiones que casi se dividen, los métodos diagramáticos y las cubiertas universales, y los métodos matriciales. Algunos de los resultados centrales obtenidos son la prueba de la Conjetura de Brauer Thrall (Bautista), del teorema de dicotomía manso/salvaje (Drozd/Crawley-Boevey), y los métodos de clasificación de álgebras de tipo finito.
En la actualidad, gran parte de la investigación se centra en el estudio de las álgebras de tipo de representación manso, la aplicación de métodos homológicos y de la topología algebraica, y la aplicación de la teoría de representaciones a otras áreas como el álgebra conmutativa y la geometría, o los grupos cuánticos.
El grupo de Morelia participa activamente en las corrientes actuales de investigación en la teoría de representaciones, he aquí algunos ejemplos:
El trabajo de R. Bautista, L. Salmerón y R. Zuazua en el desarrollo de la teoría de bocses y su aplicación al estudio de los casos manso y salvaje, el estudio de categorías derivadas de R. Zuazua, R. Bautista y R. Martínez-Villa, el estudio de la geometría de las variedades de representaciones de bocses de R. Bautista, A.G. Raggi y L. Salmerón, y la aplicación de métodos homológicos al estudio de las gavillas sobre el espacio proyectivo de R. Martínez-Villa.
S. Garcia M. Hrusak D. Juan A. Ramos
La topología es una de las áreas de las matemáticas que ha tenido un gran desarrollo a nivel nacional e internacional en los últimos años. Cada día se aplican más métodos topológicos en las distintas áreas del conocimiento científico. La actividad de este grupo en la Unidad, tiene un contexto topológico común, aunque desarrollan proyectos de investigación en una gran diversidad de temas de la topología algebraica, la topología de conjuntos y la teoría de conjuntos, así como en áreas cercanas como lógica matemática y teoría de modelos, sistemas dinámicos y álgebras booleanas.
M. Hrusak y S. García-Ferreira se concentran principalmente en las interacciones entre topología y teoría de conjuntos. Usando métodos de combinatoria infinita han resuelto varios problemas importantes en los campos: grupos topológicos, teoría de selecciones, teoría de ultrafiltros, pseudocompacidad, resolubilidad, juegos topológicos, familias casi ajenas, espacios de Fréchet, y álgebras booleanas. Ellos utilizan técnicas de teoría de conjuntos pero, también, las han desarrollado en sus trabajos sobre invariantes cardinales, familias casi ajenas e independientes, principios de adivinanza y el método de “forcing''.
Por su parte, Daniel Juan ha concentrado su labor en el área de la topología algebraica, la cual tiene como uno de sus objetivos principales la clasificación de los espacios topológicos enfatizando aspectos geométricos distintos de los mismos. Por ejemplo, se busca clasificar los espacios según la homotopía, el h-cobordismo o la homología.
Los métodos de la topología algebraica buscan invariantes algebraicos para estudiar fenómenos topológicos o geométricos. Como ejemplos tenemos los grupos de homología, homotopía o los distintos tipos de K-teoría. Algunos de sus trabajos contemplan el cálculo de estos invariantes. Destaca entre ellos su trabajo en la dirección de buscar evidencia para la conjetura de Farrell-Jones, la cual dice que la K-teoría algebraica del anillo de un grupo discreto esta determinada por la K-teoría algebraica de sus subgrupos virtualmente cíclicos.