En este taller planeamos abordar un problemas de clasificación de variedades algebraicas. Para tal fin, los personajes principales de la historia serán las familias de curvas algebraicas. Nuestro principal objetivo será simplemente enunciar el teorema del cono de Mori.

Empezaremos el taller con un teorema de geometría clásica: teorema de Poncelet. Este resultado nos permitirá hablar del problema de clasificación de variedades algebraicas; el cual será nuestro objetivo.

Una solución a los problemas de clasificación son los espacios moduli. Básicamente, un espacio moduli es un objeto algebraico el cual contiene toda la información de los objetos que se desean clasificar. Sin embargo, no todos los problemas de clasificación cuentan con un espacio moduli y en este caso se busca una solución más general.

En nuestro minicurso hablaremos de los problemas de clasificación y como determinar la solución en términos de espacios moduli. Identificaremos algunas causas por las cuales el espacio moduli no siempre existe. Desarrollaremos la teoría de moduli stacks como una solución general a cualquier problema moduli.

El objetivo del curso es dar una introducción elemental de la teoría de invariantes geométricos (GIT, por sus siglas en inglés), empezando con un resumen de la teoría clásica de invariantes del siglo XIX, debida, entre otros, a Hilbert y Noether. A través de ejemplos llegaremos a la teoría de invariantes geométricos debida a Mumford, gracias a la cual, además de ganar la medalla Fields en 1974, se pudieron construir muchos espacios clasificantes, los llamados Espacio de Moduli.

Este minicurso tiene como objetivo dar un primer acercamiento a la resolución de singularidades de variedades algebraicas utilizando la explosión de Nash o la explosión de Nash superior. Estas explosiones son modificaciones canónicas de una variedad que consisten en remplazar puntos singulares por límites de ciertos espacios vectoriales asociados a la variedad en puntos no singulares. Exploraremos generalidades de estas construcciones y algunos problemas relacionados.