En este mini curso vamos a estudiar sumas trigonométricas, demostrar algunas de sus estimaciones no triviales y aplicarlas para resolver una familia de problemas en teoría aditiva de números.

El curso estará constituido de 4 o 5 partes:
Parte 1. Inversión, transformaciones de Mobius y esfera de Riemann.
Parte 2. Grupos Kleinianos y ejemplos de sus conjuntos límite.
Parte 3. Curvas que no tienen tangente en casi ningún punto y ejemplos que son conjunto límite de grupos quasifuchsianos.
Parte 4. Curvas de Peanno y ejemplos que son conjunto límite de grupos Kleinianos.
Parte 5. (Opcional, dependiendo del programa): Geometría hiperbólica tridimensional.

El tema es muy geométrico. Pienso usar algo de análisis al hablar de curvas de Peanno y de curvas sin tangente casi dondequiera.
Mis ejemplos de conjuntos límite serán "incalculables" teóricamente, así que mostraré imágenes que calcula la computadora, pero sí analizaré porqué esas imágenes se comportan de esa manera. Pretendo mostrar que ciertos ejemplos que se crean monstruosos a fines del siglo antepasado (curvas de Peanno, curvas sin tangentes casi dondequiera, curvas de Jordan "no triviales") pueden tener muchísima simetría (la dada por un grupo Kleiniano) y ser bonitos.

Presentaremos las propiedades básicas de la transformada de Fourier tanto de funciones clásicas como de distribuciones y sus aplicaciones en la teoría de ecuaciones diferenciales. En particular, mostraremos cómo se obtienen las soluciones de las ecuaciones que describen la propagación de ondas en diferentes medios y cómo se puede obtener la descripcíon cualitativa de ellas a través de la transofrmada de Fourier y los métodos asintóticos de la evaluación de integrales. Mostraremos cómo estas ideas permiten establecer la correspondencia entre diferentes paradigmas físicos por ejemplo entre la óptica geométrica y la ondulatoria o entre la mecánica clásica y la cuántica. Terminaremos con ejemplos de gúıas de ondas con obstáculos que presentan interesantes fenómenos físicos como la reflexión total y la aparición de ondas atrapadas por estos obstáculos.

Todos los juegos que conocemos de la "vida real" toman solo una cantidad finita de tiempo en concluir. Sin embargo, matemáticamente es posible estudiar juegos que requieran una infinidad de pasos para que estos lleguen a su fin. Pero, ¿Que caso tiene estudiar este tipo de juegos? En un principio, parecería que los juegos infinitos no podrían tener alguna utilidad. Sorprendentemente, tales juegos tienen varias aplicaciones en la teoría de conjuntos, topología y lógica. Esta plática será una introducción a la teoría de juegos infinitos y veremos algunas de sus aplicaciones.

Uno de los principales problemas en la geometría algebraica es la clasificación de objetos, ya sean superficies de Riemann, variedades, haces vectoriales, etc. Más en concreto, tenemos un conjunto de objetos A y una relación de equivalencia entre los objetos, y el objetivo es de dotar de estructura algebraica a las clases de equivalencia de los objetos de A. En particular, la teoría de invariantes estudia la acción de un grupo algebraico G sobre una variedad algebraica X, y proporciona técnicas para que el cociente de X por G tenga estructura de variedad algebraica. En esta plática daremos los principales resultados desarrollados por David Mumford sobre la teoría de invariantes geométricos.

Comenzaremos calculando algunos ejemplos de espacios de parámetros, entre ellos, calcularemos el espacio M(3) de triángulos módulo semejanza usando el criterio ángulo-ángulo. Después mostraremos una manera de calcular M(4) como un cociente del espacio de cuadriláteros simples módulo semejanza orientada por una acción del grupo diédrico de orden 8.

En esta plática hablaremos sobre los coeficientes de Littlewood-Richardson. Éstos son unos números enteros que surgen en la Teoría de Representaciones del grupo lineal general, y son centrales en la Teoría de Funciones Simétricas. Para evaluarlos se utilizan técnicas de Combinatoria y de Geometría Discreta. Esta interacción entre varias áreas de las matemáticas hace de ellos unos objetos apasionantes y muy útiles.