En este curso estudiaremos algunas de las herramientas clave para el estudio de algunos procesos difusivos en fenómenos biológicos. Para ello, los problemas que discutiremos se formularán en términos de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales y, como herramienta principal, abordaremos algunos aspectos básicos de la teoría de bifurcación.

Requisitos: Nociones básicas en Ecuaciones Diferenciales, Álgebra Lineal y Variable Compleja.

Estudiando el espacio proyectivo de dimensión 2, analizaremos algunas propiedades de ciertos conjuntos definidos como ceros de polinomios homogéneos. Estos conjuntos determinan curvas proyectivas (algebraicas) con ciertas propiedades geométricas que nos ayudan a entender el espacio "donde viven las superficies de Riemann", esto es, el espacio moduli de curvas M_g.

Con ejemplos concretos y nociones básicas de geometría complejo-diferencial analizaremos la relación de las curvas proyectivas con el espacio moduli de curvas.

Requisitos: Análisis Complejo, Cálculo Diferencial en varias variables, Álgebra Lineal y Nociones de Topología General.

M. Mirzakhani obtuvo la Medalla Fields en 2014. En uno de sus primeros trabajos, Mirzakhani calculó el volumen de un espacio cuyos puntos representan geometrías de una superficie S. Para esto se apoyó en una fórmula que afirma que cierta suma infinita en términos de longitudes de geodésicas simples de S es constante, es decir, no depende de la geometría de S.

El objetivo del curso es revisar este esquema en el caso más simple: cuando la superficie S es el toro ponchado. Se trata de un curso donde habrá que entender las geometrías hiperbólicas en tal superficie S. Esto puede servir para dar una idea de la profundidad de las ideas de Mirzakhani.

Requisitos: Material generalmente cubierto antes del 6o. semestre de la licenciatura en matemáticas.

Las funciones reales infinitamente diferenciables están controladas localmente por un número muy grande de parámetros. En contraposición, las funciones holomorfas están controladas localmente por un número entero.

Esto es, a cada número entero le corresponde un modelo local de función holomorfa y viceversa.
Nuestro objetivo es estudiar cómo esa correspondencia se refleja en;
(a) la teoría de integración compleja,
(b) las superficies que emanan de las funciones complejas.

Requisitos: Se supondrá un primer curso de variable compleja nivel licenciatura.

En el siglo XX y en lo que va del siglo XXI se han estudiado diversas estructuras de incidencia como gráficas, planos proyectivos discretos, polígonos generalizados, etc. Algunos de ellos están íntimamente ligados con las simetrías de esas estructuras. En este curso platicaremos brevemente acerca de algunos de ellos y de sus simetrías. Pondremos particular atención a los mapas en superficies y politopos abstractos.