Algebraic Combinatorics and Group Theory PDF Print

H. Cárdenas, F. Luca, A.G. Raggi-Cárdenas, E. Vallejo.

La combinatoria algebraica es un área de las matemáticas que tiene un carácter muy amplio y cuya esencia es la interacción entre la combinatoria y el álgebra. Por un lado estudia aspectos combinatorios de ramas más clásicas de las matemáticas como son la teoría de grupos, las representaciones de grupos de Coxeter y de álgebras de Lie semisimples, la teoría de funciones simétricas y el cálculo de Schubert. Por otro lado, utiliza métodos algebraicos para resolver problemas de tipo combinatorio, como aquellos que provienen de la combinatoria enumerativa y de las teorías de politopos convexos y de gráficas.
La combinatoria algebraica y la teoría de los grupos constituyen el contexto de trabajo de este grupo de investigación, cuya labor reciente describimos en las siguientes líneas.
El anillo de Burnside de un grupo es un invariante de la categoría de grupos que ha sido muy estudiado por su relación con las representaciones modulares de grupos y con la cohomología de grupos. Dicho invariante no determina al grupo en general, pero es interesante la exploración del tipo de propiedades que deben compartir grupos que tienen el mismo anillo de Burnside. Hemos probado que para grupos abelianos el anillo de Burnside determina al grupo y que, para grupos arbitrarios, la tabla de marcas determina los factores de composición del grupo.

También se probó que todo isomorfismo de anillos de Burnside se puede normalizar e induce una buena correspondencia entre las clases de conjugación de la redes de subgrupos solubles.

Los grupos de 3-transposiciones fueron introducidos por B. Fischer en su búsqueda de una clase de grupos esporádicos. En su trabajo, clasificó todos los grupos de 3- transposiciones que no tienen subgrupos solubles normales. En esta línea de investigación estudiamos los grupos de 3-transposiciones, no necesariamente finitos, desde un punto de vista geométrico. Hemos obtenido la clasificación de los grupos de 3-transposiciones cuyo espacio de Fischer asociado es simpléctico. Introdujimos el concepto de diagrama, que nos da un conjunto mínimo de generadores del grupo, y hemos caracterizado los diagramas en la categoría de espacios de Fischer.
Uno de los temas clásicos de la combinatoria algebraica es el uso de tablas de Young para el estudio de las representaciones del grupo simétrico. En esta área hay un problema clásico, complejo, de mucho interés en álgebra y física, que consiste en encontrar un método satisfactorio para calcular la descomposición de un producto de Kronecker de dos caracteres complejos irreducibles del grupo simétrico en sus componentes irreducibles y describir combinatoriamente las multiplicidades de éstas. Hemos desarrollado una nueva línea de investigación que consiste en determinar las componentes minimales, con respecto al orden de dominación de particiones, y dar una descripción combinatoria de sus multiplicidades.
 


CCM 2011