Algebraic Geometry PDF Print

A. Castorena

Uno de los problemas principales de la geometría algebraica es la descripción de los espacios que clasifican variedades algebraicas, llamados espacios moduli que también son variedades algebraicas. A partir de los trabajos fundamentales de Grothendieck, Mumford, Oort, Zariski (entre otros) se desarrollan los métodos generales de construcción. El grupo de Geometría Algebraica de Morelia desde sus inicios se ha concentrado principalmente en el estudio del espacios moduli de curvas Mg y en el de las variedades abelianas principalmente polarizadas, Ag.

Dada una variedad algebraica X, es importante hacer el estudio de sus singularidades, Sing(X). Por ejemplo se sabe que Sing(M_g) y Sing(A_g) parametrizan curvas y variedades principalmente polarizadas con automorfismos no triviales, respectivamente.

En una primera etapa, el grupo de Geometría Algebraica estuvo formado por los Dres. Alexis García Zamora, Sevín Recillas, Laura Hidalgo y varios estudiantes de posgrado y licenciatura. En esta etapa el grupo se concentró en el estudio de curvas con automorfismos, tanto a nivel de moduli como a nivel de descomposición de las variedades Jacobianas de curvas con automorfismos. En esta dirección se obtuvieron resultados importantes sobre la descripción completa de las componentes irreducibles de Sing(Ag) y sobre la descomposición de Variedades de Prym intermedias.

Actualmente, el grupo de geometría algebraica en Morelia consiste de un miembro del IMUNAM-Morelia, el Dr. Luis Abel Castorena, quien colabora con dos geómetras algebraicos de la UMSNH, los Dres. Armando Sánchez y Angela Ortega.

Se consideran problemas moduli, esto es, problemas relacionados con la descripción y la dimensión de subvariedades de Mg que parametrizan curvas especiales las cuales tienen un modelo proyectivo plano muy particular. Se estudian problemas sobre degeneraciones de curvas, sistemas lineales límite y las fibras del morfismo que va de la Variedad de Severi a Mg. Otro tema de estudio es el espacio moduli de haces vectoriales sobre curvas algebraicas, esto último se conoce como teoría de Brill-Noether para rango mayor. El grupo de Morelia tiene una muy buena colaboración académica con grupos académicos de otras universidades nacionales, por ejemplo, el grupo de sistemas dinámicos de la Universidad Juárez Autónoma de Tabasco, el grupo de geometría algebraica y sistemas dinámicos del CIMAT y de la Universidad de Guanajuato, y el grupo de geometría algebraica de la Universidad Autónoma de Zacatecas. En esta relación académica se han abordado problemas que tienen que ver con el estudio del número mínimo de fibras singulares que admiten ciertas fibraciones sobre superficies racionales, así como otro tipo de fibraciones sobre superficies de tipo general.

 


CCM 2011