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El gran queso

Ayer por la tarde, me reuní con unos amigos para comer. Sobre la mesa, había un gran bloque de queso de una forma más bien cuadrada. Obviamente mientras comíamos, fuimos cortando el queso en rebanadas, las cuales eran cada vez más pequeñas a medida que pasaba el tiempo. Esto me hizo pensar lo siguiente: ¿Qué tal si el queso fuera un cubo de 5 por 5 por 5 y cada rebanada fuera siempre del mismo grosor, digamos 1?

Como no sería nada justo para mis amigos comensales hacer mi experimento con el queso en la realidad, decidí dibujar un modelo con cubitos:




Si te das cuenta, mi dibujo es efectivamente un cubo con medidas 5 por 5 por 5, pues está conformado por pequeños cubitos de medida 1 por 1 por 1. Así, cada rebanada es de un cubito de espesor.

Cortemos ahora una rebanada por el lado derecho. La he dibujado en otro color para que veas claramente de qué rebanada estoy hablando:




Una vez cortada nuestra primera rebanada tendremos:




Ahora cortemos una segunda rebanada empezando por el lado derecho. Una vez más, la he dibujado en otro color:



De manera que el cubo de queso se ve de esta manera:



Mi propósito es cortar el queso en rebanadas de manera que en cada paso obtenga lo más parecido a un cubo.

La siguiente rebanada la hago por arriba. Como es un poco difícil hacer este corte, coloco el bloque de queso sobre un costado.



Asi pues, removiendo la tercera rebanada, he quedado con un bloque de queso de 4 por 4 por 4:




Si repito los pasos anteriores, tendré un queso de 3 por 3 por 3. Cada paso deja el queso asi:


Seguramente te habrás dado cuenta que podemos repetir los pasos reduciendo entonces el tamaño de nuestro bloque de queso así:



y luego asi:



Hasta que finalmente obtenemos un cubito de queso de tamaño 1 por 1 por 1.

Supongamos que antes de comer todas las rebanadas de queso, las ordenamos sobre la mesa, incluyendo el último cubito. Éstas se verían de la siguiente manera (vistas desde arriba):




Son trece objetos que de hecho podemos explorar. Por ejemplo, podrías calcular el área de las piezas vistas por arriba, o bien la superficie total o el volumen total de las piezas.

Incluso puedes encontrar la manera de repartir a los comensales estas trece piezas en partes iguales.

Puedes explorar también cómo se puede reconstruir el cubo de queso de 5 por 5 por 5, a partir de los trece cuboides representados sobre la mesa. ¿De cuántas maneras puedes hacerlo?

¿Y qué tal si…….?

Claro, supongo que si ya te has dado cuenta qué patrón de números se esconde en este proceso, no será difícil saber qué pasa con un cubo de queso de medidas 10 por 10 por 10.

 

Este acertijo y su material de apoyo son una traducción; el original en inglés aparece en http://nrich.maths.org/78


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NRICH

Gran parte del material publicado en este sitio es traducción de material desarrollado por el proyecto NRICH de la Universidad de Cambridge.
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